פתרונות לתרגיל 4. נתון עץ B עם פרמטר t א. מקסימלי של מפתחות שיכולים להיות בעץ )מהו n מקסימלי( כפונקציה של h ו- t. הראו את החישובים ונמקו.

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "פתרונות לתרגיל 4. נתון עץ B עם פרמטר t א. מקסימלי של מפתחות שיכולים להיות בעץ )מהו n מקסימלי( כפונקציה של h ו- t. הראו את החישובים ונמקו."

Casper Økland
6 år siden
Visninger:

1 פתרונות לתרגיל 4 שאלה : בגובה h )כלומר יש בעץ +h רמות( עם n מפתחות. מצאו מהו מספר נתון עץ B עם פרמטר t א. מקסימלי של מפתחות שיכולים להיות בעץ )מהו n מקסימלי( כפונקציה של h ו- t. הראו את החישובים ונמקו. בן רמות )כלומר בני השורש הם עלים(. בכל צומת בעץ יש -t נתון עץ B עם פרמטר t ב. איברים. מה המס' המינימלי של פעולות הכנסה שיש לבצע עד שגובה העץ יגדל ב-? נמקו את תשובתכם. θ(). θ(t). θ(t ). θ(t ).4 אף תשובה לא נכונה 5. פתרון א. ב. +h n. (t) המקרה בו יש מס' מקסימלי של צמתים, כאשר לכל צומת -t מפתחות, ולכן גם t בנים. בפעולת הכנסה, תמיד מכניסים לעלה. נפצל צומת כאשר יהיה מלא, ונצטרך להכניס θ(t) מפתחות לעלה כדי שיפוצל. בפיצול עלה - מפתח אחד ממנו יעבור לשורש. עלה מלא יפוצל לשני עלים עם -t מפתחות. גובה העץ יגדל רק כאשר נפצל את השורש. השורש יהיה מלא אחרי θ(t) פיצולים של העלים. לכן סה"כ נצטרך ) θ(t הכנסות. שאלה : השיטה Build-Max-Heap שלמדתם בכתה, יכולה להיות ממומשת גם בדרך אחרת ע"י שימוש בMax-Heap-Insert. נתונה השיטה הבאה:: BUILD-MAX-HEAP-BY-INSERTION(A). heap-size[a]. for i to length[a]. do MAX-HEAP-INSERT(A,A[i]) א. בהינתן מערך כלשהו A של מספרים, האם השיטות ו-( Build-Max-Heap-By-Insertion(A Build-Max-Heap(A) זהות? אם כן הוכיחו, אחרת ספקו דוגמה נגדית. יבנו ערימות מקסימום

2 ב. הראו כי במקרה הגרוע Build-Max-Heap-By-Insertion תרוץ בזמן O(n) )בבניית ערימה בת n איברים(. לא נכון א. פתרון A Build-Max-Heap Build-Max-Heap-By-Insertion ב. במקרה הגרוע, כל איבר שנכניס יהיה המקסימום עד כה, ולכן הוא יעלה מהעלים עד לשורש, כגובה העץ. בתחילה, נכניס את השורש שיהיה ברמה. מכיוון שזהו עץ בינארי מלא, ברמה יהיו קודקודים, רמה 4 קודקודים וכו'. ברמה i יהיו i קודקודים. המעבר של כל איבר חדש שהוכנס, מהרמה i בה הוא נמצא עד לשורש יעלה.logi לכן סה"כ עבור כל האיברים: i i i = i= i= = i = ( ) = (n ) = i= = O(n) שאלה נתונה קבוצה S של n מספרים ממשיים ונתון חציון של המספרים בקבוצה. תכנן מבנה נתונים לאחסון S התומך בפעולות הבאות: אתחול מבנה ב-( O(n. Init().. Insert(x) להכניס מספר חדש למבנה )אין צורך לבדוק אם מספר נמצא במבנה( ב-.O(log n) החזרת חציון נוכחי ב-( O(. Median(). 4. Delete-Median() מחיקה חציון נוכחי מהמבנה ב-( n.o(log )אם מס' האיברים זוגי צריך למחוק את שני האיברים האמצעיים( חציון הוא האיבר שמספר האיברים הגדולים או ששווים לו שווה למספר האיברים שקטנים או שווים לו.

3 אם בקבוצה יש מספר אי זוגי של איברים, אז החציון שווה לערכו של האיבר האמצעי בקבוצה כאשר הערכים מסודרים בסדר עולה. כאשר בסדרה יש מספר זוגי של איברים, מקובל להתייחס למספר השמאלי בין שני האיברים שבאמצע הקבוצה )כאשר הערכים מסודרים בסדר עולה ) כאל החציון. לדוגמה: לקבוצה:,5,4,,7,4,, החציון הוא.7 עליכם לעמוד בזמנים בכל אחת מהפעולות. להחזיק שתי ערמות.H,H H ערימת מקסימום בה יהיו כל האיברים שקטנים או שווים לחציון. H ערימת מינימום בה יהיו כל האיברים שגדולים או שווים לחציון. במבנה הזה חציון הוא ערך שבשורש של H או ממוצע של ערכים שבשורשים של שתי הערימות )במקרה שיש מספר זוגי של איברים(. נדאג לכך שהפרש בין מספר האיברים בערימת מקסימום לבין מספר האיברים בערימת מינימום לא יעלה על. : Init() בניית שתי ערימות כל אחת בגודל /n.o(n/) = O(n) : Med() אם מספר איברים בערימה H גדול ב- ממספר איברים ב- H אז להחזיר ערך שבשורש של H, אחרת לחשב ממוצע של ערכים שבשורשים של שתי הערימות ולהחזיר את התוצאה. זמן ריצה.O() : Insert(x) if(x < Med()) H.insert(x) לאזן ערימות כך שהפרש בין מספר האיברים ב- H לבין מספר האיברים ב- H לא יעלה על // if(h.size = H.size + ) y = H.extractMax(); H.insert(y); else H.insert(x) if(h.size = H.size + ) y = H.extractMin(); H.insert(y); זמן ריצה O() :DeleteMed() במקרה שמספר האיברים במבנה אי-זוגי למחוק את השורש של, H במקרה שמספר האיברים זוגי למחוק שורש בכל אחת מהערימות. זמן ריצה O()

4 שאלה 4 א. הציעו אלגוריתם המקבל מערך של n מספרים ומחזיר את k המספרים הקטנים ביותר ואת k המספרים הגדולים ביותר במערך A בזמן שהוא (n.o(n + k log ב. נתונה מטריצה A עם m שורות ו- n עמודות שבה הערכים בכל שורה ממוינים בסדר עולה. הציעו אלגוריתם להדפסת איברי המטריצה בסדר ממוין הפועל בזמן ריצה (m O(mn log ומשתמש ב- O(m) זיכרון נוסף. לדוגמה: בהינתן המטריצה הבאה עם שורות ו 4 עמודות: ,,,4,5,7,8,9,0,5,6,0 עליכם להדפיס: א. תחילה נבנה ערימת מינימום H min ממערך האיברים הנתונים ונבצע k פעולת,Extract_Min הוצאת מינימום מהערימה, באופן זה נקבל את k המספרים הקטנים במערך. באופן דומה, נבנה ערימת מקסימום H max ממערך האיברים הנתונים ונבצע k פעולות,Extract_Max ז"א הוצאת מקסימום מהערימה, באופן זה נקבל את k המספרים הגדולים במערך. ניתוח זמן ריצה: בניית ערימת מינימום/מקסימום לוקחת, כפי שלמדנו, O(n) ו k פעולות הוצאת מינימום/מקסימום לוקחות (n,o(k log לכן, בסה"כ נקבל + O(n n) k log כדרוש. ב. בדומה לתרגיל הראשון בתרגול 8, רק שבמקום רשימות, אנחנו בוחנים m שורות, ז"א נצטרך ערימת עזר בגודל m, ונצטרך להכניס ולהוציא את כל mn הערכים שבמטריצה מתוך הערימה, בסה"כ נקבל זמן ריצה של (m O(mn log כדרוש. שאלה 5 נתון מערך של n מספרים שלמים בתחום [k ], כל מספר עשוי להופיע מספר פעמים במערך. תארו אלגוריתם הממיין את המספרים במערך לפי מספר הופעותיהם, מספרים עם מספר הופעות זהה יופיעו במערך הפלט בסדר עולה עפ"י ערכם. זמן ריצתו של האלגוריתם (k.o(n +,,,,,,4,4,4,7,7,,,,,,4,4,4 לדוגמה: נניח כי נתונים המספרים הבאים: אזי מערך הפלט צריך להראות כך:

5 הרעיון: - נאתחל מערך עזר C בגודל k ונעדכן באמצעות סריקה של המערך הנתון את מספר ההופעות של כל מספר במערך הנתון. - עבור כל ערך שמציין מספר הופעות של מספר כלשהו נוסיף שדה של המספר שאת מספר ההופעות שלו הוא מציין, למשל, עבור הדגומה לעיל, נקבל את המערך C הבא: אזי עבור מספר ההופעות הראשון נעדכן ועבור מספר ההופעות שבא אחריו נעדכן וכך הלאה. - בשלב הבא, נמיין לפי מספר ההופעות באמצעות מיון מניה. - נשחזר את המספרים שתואמים למספר ההופעות עפ"י השדה הנוסף, למשל, בדוגמה לעיל, נקבל במיון לפי ההופעות, בהתחלה ואח"כ שוב שתואמים למספרים ו 7, אזי נרשום קודם ואח"כ 7 וכו'. שימו לב כי מכיוון שמיינו לפי מספר הופעות באמצעות מיון מניה, ומיון מניה זהו מיון יציב, קיבלנו כי אם יש כמה מספרים עם מספר הופעות זהה, כמו ו -7 בדוגמה לעיל, אזי ה שתואם למספר ההופעות של יופיע לפני ה שתואם למספר ההופעות של 7.

Like dokumenter

ערימות מינימום - Minimum Heaps הגדרה: שימושים: מימושים: מבנה נתונים שמוגדרות עליו הפעולות הבאות: MakeHeap. בניית ערימה מתוך Insert(x) איברי קלט.

ערימות מינימום - Minimum Heaps הגדרה: שימושים: מימושים: מבנה נתונים שמוגדרות עליו הפעולות הבאות: MakeHeap. בניית ערימה מתוך Insert(x) איברי קלט. Minimum Heaps ערימות מינימום -. הגדרה: מבנה נתונים שמוגדרות עליו הפעולות הבאות: MakeHeap בניית ערימה מתוך n Insert() הכנסת איבר DecKey(p, ) לערימה. הקטנת המפתח של הצומת איברי קלט. p FindMin DelMin לערך